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V2EX  ›  数学

刚刚看到圆周率计算到了 31 万亿位了,突然想到一个循环问题

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  •   venomes · 70 天前 · 2329 次点击
    这是一个创建于 70 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。
    0.9 ,9 的循环,究竟是不是等于 1 来着,直观看来是肯定不等于的,但是从极限的角度来说,肯定是等于的~
    6 回复  |  直到 2019-05-15 18:13:13 +08:00
        1
    venomes   70 天前
    以前没有读大学之前,初中老师忽悠我的算法:
    如果 a=0.9 9 的循环,那么
    10*a -a = 9
    所以 a = 1
        2
    agagega   70 天前 via iPhone
    1 和 0.9 …之间这个鸿沟比你想象中的任何正数都要小,所以…
        3
    SeaRecluse   66 天前
    1/9*9 = 1
    直观上怎么就不等于了,时间还能换空间呢
        4
    bengxy   63 天前
    有理数集合里不存在 0.9 循环这个数,或者说 0.9 循环和 1 是等价的,是值为 1 的两种写法

    首先,无限循环小数是有理数的一种写法,所有无限循环小数都可以转化为分数的形式,转换公式为:

    假设循环小数 X 的循环部分为 A,有 k 位,则有
    10^k * x - x = A
    X = A / ( 10^k - 1)

    而 0.9 循环找不到分数映射 0.3 循环*3 不是 0.9 循环,而是 1。

    也可以这么理解,随便找个非 0 的数 x,自己除自己 x/x,个位上 0,从十分位开始,每一位上 9,除不尽。

    http://tieba.baidu.com/photo/p?kw=逻辑&flux=1&tid=3113462825&pic_id=6be0bf4543a98226cd616af68882b9014b90eb67&pn=1&fp=2&see_lz=0&red_tag=g0074824257


    而 a=0.9 循环这个定义本身就是不对的
        5
    w111   57 天前 via Android
    @venomes 你这个算法可以!
        6
    necomancer   9 天前
    整数是很好定义的,说多了都是废话;
    有理数是很好定义的,因为是俩整数商;
    实数很操蛋,但是因为有理数在实轴上是稠密的,即可以定义一个实数为小于它的所有有理数的集合,比如 1 = {r:r<1,r\in Q};
    假定 A = {r:r<0.9999...,r\in Q},B={r:1,r\in Q},则
    r\in A -> r<1-(1/10)^n -> r<1 -> r\in B;
    r\in B -> r=a/b<1 -> a<b,a,b\in Z -> a<=b-1 -> r =a/b<=1-1/b<1-(1/10)^b -> r\in A;
    A=B
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