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V2EX 提问指南
ly90907
V2EX  ›  问与答

请问这个直线的方程怎么求

  •  
  •   ly90907 · 278 天前 · 2605 次点击
    这是一个创建于 278 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

    如图所示,我有 n 个离散的点,一根直线从上方掉落,直到落到“最高”的两个点,(其实不一定是最高,就是这根直线无法再下落,重力势能最小了),然后根据这两个点求得直线方程。

    想问下各位大帅逼 /大漂亮用什么算法,或者这个算法的关键词我自己搜索也行,十分感谢。

    第 1 条附言  ·  278 天前
    点的数量是有限的,偶数个的(比如 50 个),线的定义域跟点的定义域一致。所以线不是无限长的。

    我思考了一下,应该是左边 25 个点选一个端点,右边 25 个选一个端点,这样比较符合现实中,用直尺检测地面平整度的物理意义。

    所以有位帅哥说的 1 2 2 1 我认为应该取 2 2 而不是 1 2 或者 2 1.
    51 条回复    2021-04-25 17:26:56 +08:00
    HaydenYe
        1
    HaydenYe  
       278 天前
    先找最高点 然后绕最高点旋转? 第一次相交情况就是吧(顺逆时针都可以 然后取低值)
    Raven316
        2
    Raven316  
       278 天前
    所以图呢。。
    qqq8724
        3
    qqq8724  
       278 天前
    @Raven316 要魔法上网
    marcong95
        4
    marcong95  
       278 天前
    找出来两个极值连一条线?

    不过这个重力势能是不是有点难定义,例如我在两点直接直接戳一条平行于 y 轴的直线,那算不算?
    inertia
        5
    inertia  
       278 天前
    @HaydenYe 不一定会在最高点上,比如你可以随便找个带阻尼的正弦函数试试
    codehz
        6
    codehz  
       278 天前 via Android
    这样描述的话,听起来会有很多边界问题,怎么判定最高,举个例子
    4 个数据点
    2 4 1 2
    是选择 1 2 点连线还是 2 4 点呢
    lance6716
        7
    lance6716  
       278 天前 via Android   ❤️ 1
    凸包
    ly90907
        8
    ly90907  
    OP
       278 天前
    @Raven316 啊,看不到吗?我还专门预览过 https://imgur.com/ntO2HZS

    @HaydenYe 我想过,假设右边有两个挨着的同样值的最高点,用你说的旋转只会是这两个点通过的直线,但是我需要的是橘色的线![]( )
    inertia
        9
    inertia  
       278 天前   ❤️ 2
    这条线可以这么定义,在点集中取两个点,将其连成一条直线,点集中的除这两个点外的所有点都在直线之下
    Stoulla
        10
    Stoulla  
       278 天前 via Android
    7 楼应该是正解,这玩意儿就是找一个凸包
    ly90907
        11
    ly90907  
    OP
       278 天前
    @codehz 就是类似于不平整的地面上放一根直尺,我想测量离尺最远的地面的距离,当然如果地面是突起的,那我觉得应该就是地面中心做切线吧
    ly90907
        12
    ly90907  
    OP
       278 天前
    @inertia 对对对,我就是这个意思,我语文能力太捉急了
    ynyounuo
        13
    ynyounuo  
       278 天前
    我觉得如果直线是无限长度的,那么落点必然是两个 local maxima,用 scipy 的 find_peaks 找两个最高点,两点求方程就不用说了吧
    Mithril
        14
    Mithril  
       278 天前
    你这个本质上是在计算凸包的一条边。先把凸包算出来就好了。
    ryd994
        15
    ryd994  
       278 天前 via Android
    这个解可能不唯一啊
    如果是 1 2 1
    那么有两个解
    如果是 1 2 2 1
    那么可以有三个解
    sujin190
        16
    sujin190  
       278 天前
    搞不懂这个的问题难点在哪,楼主既然已经画了二维平面,那么直线下落到最高的必然是所有数据中两个最大值上啊,没有其他情况了吧,两个点确定一个方程组这种小学应用题还用来问啊
    Vinty
        17
    Vinty  
       278 天前
    遍历一遍局部峰值点,找全局最高点,然后搜索局部峰值
    假设峰值点的集合为 d = {X,Y}, 最高点和其中一条峰值点的直线为 ax+b
    所有的 aX+b > =Y 时,就是满足条件的解。搜索方法应该还能再改进,暂时没想到
    但是,如果是这样的,会有两个解
    GuuJiang
        18
    GuuJiang  
       278 天前 via iPhone
    首先你得定义整个范围的左右边界,找出其中点 m,然后找到 y 最大的点,如果 m 在其左侧则逆时针旋转,在右侧则顺时针旋转,找到下一个碰到的点,如 m 介于两点的 x 之间,则中止,者两点就是所求,否则 m 必然位于两点同侧,那继续在哪侧就像哪侧旋转,重复直至 m 位于两点之间
    Mithril
        19
    Mithril  
       278 天前
    算凸包的时候加上两个点,( 0,0 )和( max_x, 0 ),算出来的凸包去掉那三条固定的边,然后剩下的边里面挑个斜率最接近 0 的就行了。
    whileFalse
        20
    whileFalse  
       278 天前
    题目有问题,因为无法比较两条 [直线] 的重力势能。如楼上的 1,2,2,1,如何比较 1,2 和 2,2 的重力势能哪个大?
    Raven316
        21
    Raven316  
       278 天前
    @ly90907 https 代理的端口设置错了
    Mithril
        22
    Mithril  
       278 天前
    忽然发现你这题目确实有问题。。。如果是无质量的直线那么它必然过最高点。
    但如果按你说的,可能如果不过最高点,就按你说的根据重力势能算,那就得考虑重心问题,它就不可能是直线。。。
    @ly90907 比如你 8L 第一张图,如果右侧两个最高点之间的距离很远,那么蓝色线就是对的
    GuuJiang
        23
    GuuJiang  
       278 天前 via iPhone
    @GuuJiang 这题要有解,两侧必须是有界的,换句话说你想求的其实不是“直线”,而是线段,否则的话就以你在#8 发的那个反例来说,最开始的两个点在图里看起来不满足,但是只要往右边延伸足够长度,又变成满足的了,继续往右延伸,再次变成不满足,且正解变到了它们的右侧,所以必须要先定义范围
    zxCoder
        24
    zxCoder  
       278 天前
    直线没办法

    线段感觉稍微有点复杂,得看怎么定义这个重力势能
    zxCoder
        25
    zxCoder  
       278 天前
    @zxCoder 不是直线没办法。。。是直线我想不出来,应该就是最高的前两个点了?
    stonewolfcjq
        26
    stonewolfcjq  
       278 天前 via Android
    找个最高点,再依次计算最高点和其他每一点连线的直线斜率,取绝对值最小的那个
    GuuJiang
        27
    GuuJiang  
       278 天前 via iPhone
    其实就是先求上凸包,然后在构成上凸包的各线段中取包含 m 的,必然会有一段或两段,如果只有一段即为所求,如果有两段说明 m 是它们的交点,此时结果取决于定义
    chairuosen
        28
    chairuosen  
       278 天前
    9L 正解吧
    Jirajine
        29
    Jirajine  
       278 天前 via Android
    按你的说法,首先假设线段长度远大于点的定义域 /值域范围,线段重心正好在定义域中点上下落。线段与点之间不考虑滑动(摩擦系数视为无限大)。
    那么很简单了,首先最高点一定能取到,先取到最高点以后向线段重心所在方向旋转,碰到第一个点停止。判断重心是否在两点之间,如果不在就放弃第一个点,绕第二个点继续向重心方向旋转,直到重心在两点之间为止。
    aneureka
        30
    aneureka  
       278 天前
    @Jirajine #29 不一定能取到最高点吧,比如这种情况,绿线应该才是正解
    ![corner-case]( https://i.loli.net/2021/04/23/FJIjOseU1ALg6hp.jpg)

    (不知道图片能不能正常显示)
    ho121
        31
    ho121  
       278 天前 via Android
    点不多的话,用穷举?
    Jirajine
        32
    Jirajine  
       278 天前
    @aneureka #30 你没有看完我写的,假设是水平下落,第一个碰到的点一定是最高点。判断重心后再旋转。本质上是模拟下落的过程。
    L5411
        33
    L5411  
       278 天前
    必须得计算线段的重力势能吧
    L5411
        34
    L5411  
       278 天前
    @Jirajine 正解
    3dwelcome
        35
    3dwelcome  
       278 天前
    @aneureka 我觉得红线也挺符合条件的,汗。
    3dwelcome
        36
    3dwelcome  
       278 天前
    @aneureka "不知道图片能不能正常显示"

    v2 回帖里显示图片,貌似只能是 v2 图库,sina 图库,imgur 这三个。
    只有发帖不受任何限制,随便一个网络图片都可以。
    oamu
        37
    oamu  
       278 天前
    找一条直线,其他点都在这条直线下面?那不是找出最大的两个值,两点式一算就出来了么。
    oamu
        38
    oamu  
       278 天前
    @oamu 不对,想错了。找出最大值,然后两点式算斜率,取斜率绝对最小的吧,那应该每组数据都有一条或者两条这样的直线。
    aneureka
        39
    aneureka  
       278 天前 via iPhone
    @3dwelcome #35 哈哈确实 感觉还是得根据实际情况来 这个问题定义感觉不是太严谨 其实点不多的话用个 On^3 的循环扫一遍也就可以了
    GuuJiang
        40
    GuuJiang  
       278 天前
    总结下,首先“其他所有点都在直线之下”这个只是必要非充分条件,因为上凸包里的每一段所在的直线都是满足这个条件的,所以问题转化成了求上凸包里某一段所在的直线,关键在于这一段应该满足什么条件,上面有不少人说一定过最高点的,还有说斜率最小的,这两个都是不对的,反例都已经在#8 的图里给出来了
    其实 LZ 你最开始描述问题的方式已经非常接近真相了,想象下这个物理过程,线落下来接触了一个线段以后为什么还会旋转,就是因为中心落在了线段之外,所以所求线段需要满足的条件已经很明显了,就是让重心落在内部,由于假设是质量均匀直线,所以重心自然就是中点(PS:就算题目换成质量不均匀的线段也可以用同样的方法求解,只需要换成真正的重心即可)
    另外,相比起传统的求上凸包方法,针对这个问题可以做一些优化,起点只需要从最高点开始,并且根据重心位置只用考虑它的一侧,另一侧直接丢弃,另外过程中只需要碰到第一个包含了重心的线段就可以停止了,因为重心只可能包含在一个线段内(在交点的情况忽略)
    lidlesseye11
        41
    lidlesseye11  
       278 天前
    感觉楼主想要的是个类似于豪斯多夫距离的概念?
    满足 9L 描述的有不止一条直线,定义 Di 为点 i 到直线的距离的话,楼主想要的是使 max ( Di )最小的那条线?
    shyrock
        42
    shyrock  
       278 天前
    1.下落到最高点,如果最高点多于 2 个,则解是连接这两个点的直线。
    2.如果最高点只有一个,则判断最高点在左侧还是右侧,然后以最高点为原点,对侧的点按极坐标排序,第一个扫到的点和最高点确定直线
    lidlesseye11
        43
    lidlesseye11  
       278 天前
    @lidlesseye11 又或者是使 sum ( Di )最小的那条线?
    akira
        44
    akira  
       278 天前
    找到最高点
    以最高点为原点建立极坐标
    扫描两侧的点
    所以应该是有 2 个解...
    rus4db
        45
    rus4db  
       278 天前
    关键词:凸包算法
    wa007
        46
    wa007  
       277 天前 via iPhone
    找到最高点,最高点肯定经过这条直线,然后遍及其他点,与最高点连成一条直线,斜率绝对值最小的直线就是答案
    LxExExl
        47
    LxExExl  
       277 天前 via iPhone
    楼主如果是炒股我觉得技术分析啥的都没用

    各种均线看看就行了 还是选成长股优质股然后长线定投
    oylinv
        48
    oylinv  
       277 天前 via iPhone
    这个的话,最简单的方法,就是按顺序取两个点,用这两条点建立直线,再判断其他点是否在这条线下方(点到直线距离公式去掉绝对值), 如果存在上方的点,则顺序换接下来的两个点计算。
    就是计算次数比较多
    ly90907
        49
    ly90907  
    OP
       276 天前
    感谢各位的回复和解答,由于人数较多就不一一回复了,看了各位的回答,并且思考 @GuuJiang 和 @Jirajine 这两位朋友的回复就是我想要的答案。并且整理了一下,写了一个总结。https://zhuanlan.zhihu.com/p/367706616
    懒得点的话我就直接把伪代码贴上,以供分享。


    遍历点集找出最高点 P1 ;

    if P1∈[0,N ) 遍历 P1 右边的点,计算斜率 k,找出 k 最大的点 P2 ;

    if P2∈[N,2N ) 得到 P1,P2 为最终结果

    else P1 = P2, 递归上述过程

    else if P1∈[N,2N ) 遍历 P1 左边的点,计算斜率 k,找出 k 最小的点 P2 ;

    if P2∈[0,N ) 得到 P1,P2 为最终结果

    else P1 = P2, 递归上述过程



    @sujin190
    @ryd994
    @Vinty
    @whileFalse
    @zxCoder
    @stonewolfcjq
    @aneureka
    @ho121
    @3dwelcome
    @oamu
    @shyrock
    @wa007
    @LxExExl
    @oylinv
    ryd994
        50
    ryd994  
       276 天前 via Android
    既然反正是 O(n^2)
    那直接遍历经过每每两点的直线,使得直线在 1/2 处的值最大化即可
    这样做虽然计算量大一点,但是可以很容易并行化
    ly90907
        51
    ly90907  
    OP
       276 天前
    @ryd994 我在八楼回复的图,绿线在 1/2 处比黄线的要大,但是黄线才是要得到的。不知道我的理解对不对
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