今天听说一个玄学算法，写了一下，确实玄学？

[estk]

假设有 3 个门编号分别为 0 ，1 ，2 ，其中只有 1 个门后面有奖品 主持人先打开一个不存在奖品的门，剩下两个门你随机打开一个，中奖概率是多少？ 答案不是 50% 算法写的也确实不是，是写得不对吗？

(async ()=>{
  let gotTimes = 0
  let missTimes = 0
  let failTimes = 0
  let testTimes = 100000
  while( --testTimes > 0) {
    const targetGateNo = parseInt(Math.random()*10**10)%3 // 0/1/2
    let gates = []
    for (let i=0; i<2; i++) {
      gates.push(i===targetGateNo)
    }
    const randomNo = parseInt(Math.random()*10**10)%3 // 0/1/2
    if (gates[randomNo]) {
      failTimes++
      continue
    }
    let randomNo2 = parseInt(Math.random()*10**10)%3
    while(randomNo2===randomNo) {
      randomNo2 = parseInt(Math.random()*10**10)%3
    }
    if (gates[randomNo2]) {
      gotTimes ++
      continue
    }
    missTimes ++
  }
  console.log(gotTimes/(gotTimes+missTimes), gotTimes, missTimes)
})()

剩下两个选一个，下意识觉得概率应该 50%才对，但是执行后是 0.28 左右

[0ZXYDDu796nVCFxq]

因为你代码写错了
前面打开一个不存在奖品的们，和后面再打开一个，两者是独立事件

[edis0n0]

先打开一个不存在奖品的门，剩下两个门你随机打开一个
剩下两个门你随机打开一个
两个门你随机打开一个
两个门 随机
两个门
parseInt(Math.random()*10**10)%3 // 0/1/2
Math.random()*10**10)%3
%3
???

[houshuu]

三门问题应该是这个吧
https://zhuanlan.zhihu.com/p/37669145

[xyfan]

你这问题可能是听（记）错了。我听到的版本是，你先选择一扇门，之后主持人打开一扇没有奖品的门，如果你不换选择，中奖概率是 1/3 ，如果你换选择，中奖概率是 2/3 。

[arch9999]

你设置的前提，只能是 50%

[estk]

@xyfan #4
直觉上不应该是 0.5 吗？
2/3 数学上可证明？

[estk]

@xyfan #4
明白了
跟我讲述的人讲玄了

[Tink]

本来就不是 50‘

[akira]

3 门问题啊，你描述的有遗漏。
而且这就是个概率问题

[crab]

[leafin]

其实不难理解，3 扇门分别是 abc ，1 真 2 假，先随机选定一扇门，假设是 a ，那么 a 是真门的概率是 33%没错吧，这时候主持人打开一定是假门的门 c ，剩下 ab ，1 真 1 假，然后再打开 b ，最后打开 a 。那么 a 是真门的概率是多少呢，当然是 33%，打开顺序不会影响概率，因为一开始就选定 a 了。那让我们回到剩下 ab 的时候，c 是真门的概率是 0%(主持人保证 c 一定是假门)，而 a 是 33%，那么 b 一定是 67%。

[Chad0000]

@estk
这个确实不容易打破直觉。

简单描述就是 abc 选其中一个，如果你选的是 a ，那么如果你选择换其实相当于你同时选了 bc （主持人帮你过滤掉无效的）。a 命中和 bc 命中是 1/3 和 2/3 的关系。

[Chad0000]

@Chad0000
再精简一下：
abc 你选 a ，命中率 1/3 ；
你换的话，bc 只要有一个中你就中，概率 1/3+1/3 ；

[goophy]

如果是 100 扇门，选一个，再排除 98 扇，这时候换不换，选中的概率不同，就容易理解了

[dlsflh]

3 门问题换成一百门问题容易理解。

[yehoshua]

这不是概率论问题吗？条件概率和独立事件。基础的概率论问题。

[yehoshua]

个人认为这是个典型的概率论问题。
这个问题 OP 的设定（不管经典三门问题怎么设定，而是 OP 的设定）答案是 50%。

经典的三门问题比这个复杂一些。不过我认为也是 50%。

[yehoshua]

@yehoshua 经典三门问题我并不了解，刚去检索了，三门问题的原始阐述，有个特殊的限制。这个限制存在让三门不是简单的 50%。67%才是对的。

[heavymetals]

我也用 python 写过这种算法，答案不对肯定就是理解错了，因为在写的过程应该就已经知道答案了....

https://gist.githubusercontent.com/Cristina269/c89739f2c7885f306ec7fa6b28c10a4e/raw/f353e22c700653353529711dbc23c536163cb9b3/%25E4%25B8%2589%25E7%2590%2583%25E9%2597%25AE%25E9%25A2%2598_python

[heavymetals]

@heavymetals 链接格式好像贴的不太对...v2ex 不能连续发链接，就这样吧

[JohnBull]

条件概率问题，通常有点反直觉

[mongcici]

@leafin 这个问题我一直是想不通。按你说的感觉是这样，但是假定，我事先没有去随机选择一扇门，这时候主持人打开一定是假门的门 C ，剩下 ab ，1 真 1 假，这个时候我去选择 a 是真门的概率是多少呢？我感觉应该是 50%。
我感觉 abc 本来都是 67%，当主持人打开了一扇假门 c ，剩下的 ab 的概率应该都变到 50%。不管我事先有没有选择 A 。

[eason1874]

@estk #6
@yehoshua #17 三门问题数学可证，换门确实是三分之二，我也写过代码验证，次数少会有偏差，100 万次以上基本就稳定了

@heavymetals #19 这个问题的代码其实几行就能写出来了

if SelectNum === WinNum then 第一次选中+1
else {
// 如果第一次没选中，那么 WinNum 在剩下的两个选项中
// 而这时主持人又给你排除掉一个错误选项，等于同时排除了两个错误选项
// 此时换门必中，不需要再写去掉错误选项的代码，加一即可
换门选中+1
}

通过代码就能理清其中逻辑：只要第一次选错了，那么换门必中，第一次选错的概率是三分之二，所以换门选中概率也就是三分之二

[msg7086]

@mongcici 主持人不一定打开门 C ，也可能打开门 A 或者门 B 。
你事先选择的一扇门限制了主持人只能打开假门，而不允许打开真门（因为违反游戏规则了）。
如果主持人根本不知道哪扇门是真的假的，闭着眼睛随便去掉一扇，那么你说的就是对的。

这里利用的就是主持人拥有你所不拥有的知识来造成概率的不同。

[dvsilch]

就跟抽签一样，知道前面抽的签没中，中的概率就被平均到剩余的签了

[msg7086]

@mongcici 也可以换一个等价的游戏规则。
你先选一扇门 A ，然后主持人随机去掉一个门 C ，并且不告诉你 C 是真门还是假门。
但是告诉你，如果 B 是真门，那么你选 B 可以获奖；但如果 C 是真门，那么你选 B 也可以获奖。
这样是不是就很容易看出换门 67%不换 33%了。

[wukangave]

大哥你的代码写错了
“for (let i=0; i<2; i++) {”
循环条件应该是 i<=2
因为你写错了，数组里只有两个元素，然后 js 又没有数组溢出检查，所以当随机生成的奖品在第三个门的时候，玩家永远是错的。
你把循环条件改对，概率就是 50%了

[Kroos]

先不考虑代码怎么写，按照你的描述只能是 50%的答案。

因为已经打开一个没有奖品的门了，剩下二选一相当于一个条件概率。

[yehoshua]

@eason1874 三门这个问题甚至不需要用次数验证，数学可以直接算的，很简单的概率论问题。只不过描述上让人迷惑，换成数学描述就很简单了。最终还是回到了概率论-_-

[leafin]

@estk 我也懒得改你的代码了，我重新写了一份，包含原本的三门和主贴里描述的三门，你运行一下看吧

(() => {
const rand3 = () => Math.floor(Math.random()*3)%3
const next = (cur) => (cur+1)%3

let noswap_wins = 0 // 维持原始选择
let swap_wins = 0 // 交换选择
let reselect_wins = 0 // 重新随机选择（主贴所描述的三门）
const loop = 100000

for(let i=0; i<loop; i++){
const goal_door = rand3() // 有奖品的门
const selected_door = rand3() // 参赛者选择的门
let opened_door, swap_door // 主持人打开的门，可以交换的门

// 主持人在未选择的两扇门中打开一扇没有奖品的门，并设置另一扇门为交换门
opened_door = next(selected_door)
if(opened_door !== goal_door){
swap_door = next(opened_door)
}else{
swap_door = opened_door
opened_door = next(opened_door)
}

// 如果这时候在两扇未开的门中重新随机选择（主贴所描述的三门）
let reselected_door = next(opened_door)
if(Math.random() > 0.5)
reselected_door = next(reselected_door)

// 统计结果
if(selected_door === goal_door)
noswap_wins++
if(swap_door === goal_door)
swap_wins++
if(reselected_door === goal_door)
reselect_wins++
}

console.log("不交换：" + noswap_wins/loop + " / 交换：" + swap_wins/loop + " / 重新随机选：" + reselect_wins/loop)
})()

[mm163]

其实就是一次机会 1/3 ，两次机会 2/3 ，该题实际给 2 次机会

[leafin]

@leafin 为什么我的空格没有了，这、

[Jooooooooo]

其实换门是等价于你直接一开始选两扇门, 那概率自然比不换选一扇门概率高.

[lifansama]

主持人打开的门并不随机啊😂

[Leviathann]

开两次，对应 两种有+没有的情况 / 两种没有 + 有的情况 / 一种没有 + 没有的情况
第一扇门开了没东西，其实消除了 两个 有 + 没有的情况，只剩下 没有 + 有 * 2 和 没有 + 没有 * 1
也就是 2 / 3

[mongcici]

@msg7086 谢谢耐心解答，我再好好想想看。

[Aloento]

薛定饿了么 有讲这个概率问题

[Constantping]

@mongcici 如果選擇不換，就只能選擇唯一正確的那扇（ 1/3 ）
如果選擇換，就可以選擇錯誤的那兩扇門（ 2/3 ）

[callmesmc]

问题是主持人不是随机选的，是在剩下的门里面给排掉一个，如果换门，换的就是已经排掉一个的那一组，概率当然上升了

[nuk]

主持人的选择让另外那个门熵降低了，所以两个门的熵值显然不一样

[Allonsy]

基本概率论了，
你选择了一门，然后主持人开了剩下两个门中无奖品的那个，你可以选择换或者不换门。
这里重要的是第一个条件，你得先选一个门。
如果你一开始不选，主持人帮你去掉了一个选项，那么你选择获胜的概率就是 1/2.
如果你一开始选了，情况就不一样了，通俗一点来说，两个剩下的门打开一个，那么被打开的门的概率就塌缩到了剩下那个门，变成了 2/3.
严谨的来说如下：
你第一次选择的概率只有 1/3 ，但是当主持人打开一扇空门后，利用基本贝叶斯定理，能得出剩下那扇门的概率是 2/3.

[vAvyummyICE]

对于观众来说，看到的是一个随机事件。也是抽奖先后顺序公平与否的问题（随机事件，主持人不知道哪一个是无奖门哪一个是有奖门）
主持人概率:1/3
你的概率（条件概率）是:2/3(有机会去选门的概率或者说主持人选到无奖的概率) 乘以 1/2(两个门选一个选对的概率) = 1/3


但是对于你和主持人两个人来说，实际是独立事件
因为规定主持人先选择且选无奖门，剩下的对于你而言也就是个随机事件了
主持人选中有奖的概率是 0 ，无奖概率是 1
你选中有奖的概率是自身的概率也就是在两个门中选一个的概率，即:1/2


直白点就是 三个选项里只有一个正确答案，人为去除一个错误答案，剩下两个选项，那么你答对的概率就是 1/2 。

第一个人点击在无奖门里随机一个，比如 0 ，1 是无奖门，随机一个数 0 或 1 ，然后排除这个留下一个。第二个人点击在剩下的两个数字里随机一个。
无论第二个人点击结果是什么，第三个人也不用选了，直接给出剩下的结果。


高中概率论

[qdwang]

@Chad0000 你的解释最直观，感谢

[onevcat]

？？条件概率不是必修课么..贝叶斯公式都还给老师了么 😂

[oldmyth]

@estk 三个可能你想不通，如果是一万个呢，给你一万个箱子，让你随机选了一个，然后主持人把其他不是的 9998 个都打开，最后一个问你换不换

[avenger]

原因很簡單 若一開始選到羊 再換則必得車 而一開始選到羊的機率是 2/3