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为什么会有无理数?

  •  
  •   nullcoder · 2017-09-02 09:20:46 +08:00 · 7644 次点击
    这是一个创建于 808 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。
    起因是想到 1/3 是 0.33 无限循环小数,但是我想如果不是 10 进制,是 9 进制,那 1/3 就是 0.3 了
    继而想到无限不循环小数,即无理数

    比较熟知的无理数有 根号 2 根号 3 pie 等等
    简单在百度百科看了一下 https://baike.baidu.com/item/%E6%97%A0%E7%90%86%E6%95%B0
    对证明根号 2 是无理数的证明也可以理解

    但我的想法是为什么会有无理数?就是说( 0,1 )之间都是有无穷无尽的可能
    这个问题可能和为什么有质数一样,当然并不指望能得到完美的答案。
    自己想不出来,就发出来,好放下这个。
    46 回复  |  直到 2017-09-03 10:24:42 +08:00
        1
    DiamondbacK   2017-09-02 09:39:10 +08:00   ♥ 2
    找一本数学分析的实数理论来读读。
        2
    silencefent   2017-09-02 09:45:24 +08:00   ♥ 2
    代数是被发明的,这个世界没有"数”这一概念,代数里所有的一切都是伴随各个公理产生,公理不可证
        3
    xratzh   2017-09-02 09:48:07 +08:00 via iPhone   ♥ 1
    推荐知乎周刊 VOL165,《数学妙啊!妙!》
        4
    CEBBCAT   2017-09-02 09:51:01 +08:00 via Android
    有无穷个数,找到适合每一个的进制并不容易
        5
    Valyrian   2017-09-02 09:55:25 +08:00
    楼主是想问“为什么无理数用几进制表示都是无限不循环小数”吗?
        6
    nullcoder   2017-09-02 09:59:18 +08:00
    @Valyrian #5
    也可以算是我想问的,但是我觉得 #4 基本回答了。
    更想问的是为什么有这种“东西存在”

    比如 pie 定义是圆的周长和直径的比值,这个为什么就是一个无理数,为什么不是类似 1/3 这样的。
    同理 根号 2,根号 3 等。
        7
    ipwx   2017-09-02 10:01:38 +08:00   ♥ 2
    无论你用什么表示方式,分式也好,十进制小数也好,九进制小数也罢,都只是某个“数”的表示方式。

    我们首先假定“整数”是不言而喻的,你我都清楚“整数”的概念。通过除法可以从整数派生出有理数。然而当你研究有理数的无穷序列的时候,发现不是所有满足柯西收敛准则的有理数序列(简称柯西序列)都能在有理数里面找到收敛的极限。比如我先写一个 3,再写一个 3.1,然后写 3.14 ,以此类推…… 你会发现明明有限步操作内,每一个写出来的数字都是有理数,但是当我把它无限写下去,却不是一个有理数。

    因为找不到任何一个整数除以整数,等于这个无限的不循环的小数。

    因此我们需要延拓有理数域,引入无理数这个概念。有理数和无理数加起来就是实数域。实数域满足任意柯西序列都能在实数域中找到收敛到的极限,即无穷序列的很多操作都是良定义的。

    所以实数的定义根基是无穷序列的收敛。用收敛的语言来看,如果两个实数 |a-b| < epsilon (即两个数的差小于任何大于零的数),那么这 a 和 b 就代表了同一个数,无论你用什么方式去表达这两个数。因为不存在一个小于“大于零的任何数”的实数。譬如 0.999999.... (零点九九循环)和 1 就是同一个数。

    这些都是实分析的内容,楼主有兴趣可以去学一学。
        8
    Cbdy   2017-09-02 10:02:51 +08:00 via Android
    没学过高数吗?
        9
    momocraft   2017-09-02 10:03:11 +08:00
    我觉得存在本身的原因是... 因为有人定义了能产生无理数的运算。
    整数的加减乘除的闭包得不到无理数。如果没有定义方根,可能很久后人们才会因为别的原因发现第一个无理数。
        10
    nullcoder   2017-09-02 10:06:17 +08:00
    @Cbdy
    年少不知愁滋味,没好好学
        11
    WildCat   2017-09-02 10:09:28 +08:00
    @momocraft 请问 π 是如何运算产生的? e 呢
        12
    ipwx   2017-09-02 10:09:37 +08:00   ♥ 2
    有理数不满足所有柯西列收敛,因此引入无理数,只是从有理数延拓到无理数的一种基点。事实上存在另外的基点来引入无理数,当然这最终能退出这些基点互相都是等价的。

    譬如根号二,如果你写出这样的一个集合: {x^2 < 2},你可以证明(略)在无理数范围内这个集合不存在上确界。这时候我们引入无理数,确保任何有理数和无理数加起来的这个数域里面,所有有上界的非空集合都有上确界。通过这个基点,一样能得到实数,并且满足柯西收敛准则。
        13
    WildCat   2017-09-02 10:09:45 +08:00
    π 是 pi,字体问题
        14
    ipwx   2017-09-02 10:10:52 +08:00
    @WildCat pi 和 e 都是客观存在的某个“数”。只不过通过某些运算(大多是无穷序列求和,也有积分),你可以证明得到的那个答案“等于” pi 或者 e。
        16
    ipwx   2017-09-02 10:13:43 +08:00
    。。上面某一楼写错了一点,

    {x^2 < 2},你可以证明(略)在有理数范围内这个集合不存在上确界。
        17
    jarlyyn   2017-09-02 10:15:01 +08:00 via Android
    因为无理数是客观存在的,有理数是人类在认知能力还比较匮乏的时候自己发明的。
        18
    ryd994   2017-09-02 10:16:37 +08:00 via Android   ♥ 1
    有限小数总是可以表示为分数
    这个问题换一个问法:为什么分数不能表示数轴上所有的数?
    毕达哥拉斯也不知道,但他对此表示强烈谴责。
        19
    imzhong   2017-09-02 10:17:07 +08:00
    数学在逻辑上必须是完备的
        20
    BXIA   2017-09-02 10:30:48 +08:00 via iPhone
    有理数无法填满实数轴
    Epsilon - Delta 证明
        21
    WhoMercy   2017-09-02 10:45:09 +08:00 via Android
    @nullcoder
    我的理解是:
    其实无理数都是被定义出来的,类比“复数”,在实际中可能很难找到对应的实例(或具体表现),但它们却实实在在的影响着运算结果。
    所以就先定义这些数再给它们赋值,就造成了“无理数”的出现。
    关于π,就是通过观察、假设、定义出圆的周长和半径的关系系数π,再通过微积分(极限)的方法算出面积和π的关系。
    因为我们有多种途径可以测得周长和半径,也就能推出π的数值(近似值,根据测量方法会产出生不同精度),而这个数正好是无限不循环的(无理数)。

    但其实我不知道无理数的证明过程,所以后面部分算是主观猜测。
        22
    kofj   2017-09-02 10:53:24 +08:00   ♥ 1
    没人说楼主的例证就错了吗?十进制里面的 1 和 3 与九进制里面的 1 和 3 一样?还有很多的吐槽点。。。
        23
    panda1001   2017-09-02 10:57:01 +08:00 via Android
    @kofj
    我也一直在想 0.1 算不算二进制里的无理数
        24
    Vinty   2017-09-02 11:39:20 +08:00
    @panda1001 然而 0.1 在二进制里面也是循环小数,即有理数
        25
    ipwx   2017-09-02 11:41:45 +08:00
    @kofj 没错。十进制的 0.3 = 3 * 10^{-1}。十进制的 0.3333.. 应该定义为无穷级数 sum_{i=1}^N (3 * 10^{-N})。

    因此九进制的 0.3 = 3 * 9^{-1}
        26
    DiamondbacK   2017-09-02 11:45:10 +08:00
    @panda1001 一个数是否等于两个整数之比,结论不管在什么进制里都一样。
    0.1 = 1/10 = 1/(1010)_2
        27
    momocraft   2017-09-02 11:47:20 +08:00
    一个数是 model,用几进制写出来只是 view。无限不循环小数显然不等于无理数,在几进制都一样。
        28
    momocraft   2017-09-02 11:47:41 +08:00
    *无限循环小数
        29
    stabc   2017-09-02 11:47:57 +08:00
    十进制的 10/30,在 9 进制的表示方式不是 10/30,而是 11/33
        30
    chaker   2017-09-02 12:29:48 +08:00
    这需要理由吗?
        31
    nullcoder   2017-09-02 12:30:15 +08:00
    @momocraft #27 的意见和我一样

    @panda1001 @kofj
    这是不同进制间小数转化方式,可以从 10 进制小数转 2 进制小数开始看。
    http://www.cnblogs.com/xkfz007/articles/2590472.html

    无理数比如自然底数 e,还有 根号 2 pie,这些都是首先天然存在于自然界的。
    然后在数学上被发现,并用一种特殊的方式表示。
        32
    md5   2017-09-02 12:49:56 +08:00
    pi 不是 pie
        33
    ipwx   2017-09-02 14:39:54 +08:00
    @nullcoder @momocraft 其实当你们说到“无限不循环小数”的时候,你们已经陷入误区了。

    因为你们无法精确定义任何一个“无限不循环小数”。你们给别人看到的都是有限位数的小数,而当没有循环这一规则时,任何你没有写的小数位,都是未定义的。数学不讨论任何无定义的东西。

    真正严谨地讨论无理数,必须基于明确的定义。譬如一个积分的结果,一个收敛的无穷级数的和。
        34
    davidqw   2017-09-02 15:21:05 +08:00
    @imzhong 哥德尔或许不这么看
        35
    siriussilen   2017-09-02 15:23:49 +08:00
    无法定义一个数的精确程度
    1.0000000000 … = 0.999999999 ……
    0.6666666666 …… 7 = 0.666666 …… 6
    看看微积分学教程
        36
    fyyz   2017-09-02 15:31:08 +08:00 via Android
    楼主已经开始思考第一次数学危机的内容了,2000 年前就有人思考这个东西了
        37
    am241   2017-09-02 15:31:19 +08:00 via Android
    搜索 数学直觉主义 数学构造主义
        38
    summerwar   2017-09-02 15:48:49 +08:00   ♥ 1
    因为它不讲道理,所以叫无理数
        39
    oulongqi   2017-09-02 16:39:53 +08:00
    事情是这样的:

    曾今有个学派叫做毕达哥拉斯学派,他们信奉万物皆整数或整数之比(有理数)。后来有个不听话的学生质疑他们这个学派的观点,说:『老大,我发现边长为 1 的正方形的对角线不能写成整数或者整数的比,怎么办?』后来他老大(毕达哥拉斯)就火了,一怒之下把这个学生就给弄死了。后来越来越多的人发现好像这个学生是对的,那就是有理数没办法挤满整个数轴,有理数之间还有大量的缝隙(现代的测度论观点证明了有理数集的测度为 0,也就是说有理数的数量和无理数比起来根本不值一提),于是就为无理数正了名。后来逐步证明了当有了 无理数 之后,有理数+无理数能够密密麻麻的挤满整个实数轴,万事大吉。

    然后时间来到了十七世纪,一群爱搞事数学家(笛卡尔、欧拉、高斯等)发现,为什么要局限于一根数轴上呢,我们可以往平面上搞事。于是发明了复数,再后来哈密尔顿在有提出了四元数(四维),当然这些都是后话了。
        40
    tnx2014   2017-09-02 21:28:02 +08:00
    @nullcoder

    其实关于引入无理数的严格理由,ipwx 举了一些角度和例子,已经说得很好了。但我想这毕竟不是纯数学学术讨论,楼主还是希望有不那么严谨但更直观一些的解释。

    楼主的问题,其实涉及到完备性的概念,不严谨的解释,完备性就是对于一个集合,用某种标准去考察它,如果所有满足这种标准的元素都在这个集合内,就说这个集合在这种角度下是完备的,因为在这个角度看来,我们不用再给这个集合添加新元素。

    例如对于一般空间而言,完备性的定义就是:任何空间中的柯西列的一致收敛极限包含于这个空间中。这个具体含义你不做相应研究可以不用深究,总之就是对空间这种集合,定义了某种东西,要求满足所有满足这个性质的元素包含在这个空间中,如果满足这个标准,就称这个空间是完备的。

    其实毕达哥拉斯的学生希帕斯发现的问题就是类似,既然你这学派认为“万物皆数(有理数)”,那两直角边都为 1 的直角三角形的斜边长怎么表示呢?就是说,我们如果以三角形边长为标准,总有一些边长不在有理数的集合中,所以从这个角度看,有理数集合是不完备的,引入无理数可以完备化。
        41
    imzhong   2017-09-02 23:01:32 +08:00
    @davidqw 数学是我们认知世界的工具,作为工具我们希望在我们所认知的范围内能完整表达世界,从这种意义上来说,数学必须要求自己完备(以及一致),所以才有自然数、有理数、无理数、复数,也许未来还有其他数的产生,否则数学就失去了解释力。至于哥德尔所说,更像是我们的理性根本达不到这种统一,但并不妨碍我们去追求。
        42
    arzusyume   2017-09-03 00:54:50 +08:00
    最近看的书刚好有提
    (上一页是毕达哥拉斯定理的内容)
    https://imgur.com/a/VunJ0
        43
    arzusyume   2017-09-03 00:55:20 +08:00
    发图失败, try again
        44
    thankfish   2017-09-03 08:45:19 +08:00 via iPhone
    @WhoMercy 你用的交流电就是复数,比如无功功率和有功功率
        45
    pljhonglu   2017-09-03 09:56:25 +08:00
    @arzusyume #43 请问这是什么书?
        46
    arzusyume   2017-09-03 10:24:42 +08:00
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